Question

17．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（　　）

• A． $\frac{12}{7}$
• B． $\frac{24}{7}$
• C． $\frac{48}{7}$
• D． $\frac{50}{7}$

Answer 1

分析 如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．由△BCF≌△GDF，推出BC=DG，BF=FG，由△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，推出BC=BH，AD=AH，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在Rt△ABT中，∵AB²=BT²+AT²，可得（x+4）²=4²+（4-x）²，推出x=1，推出BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，根据AE²=AK²+EK²=AD²+DE²，BE²=BK²+KE²=BC²+EC²，可得4²+z²=2y²    ①，（5-y）²+y²=1²+（4-z）²    ②，由此求出y即可解决问题．

解答 解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FH⊥AB于H，EK⊥AB于K．作BT⊥AD于T．

∵BC∥AG，
∴∠BCF=∠FDG，
∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，
∴△BCF≌△GDF，
∴BC=DG，BF=FG，
∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，
∴AB=AG，∵BF=FG，
∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，
∵FH⊥BA，FC⊥BC，
∴FH=FC，易证△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，
∴BC=BH，AD=AH，
由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，
在Rt△ABT中，∵AB²=BT²+AT²，
∴（x+4）²=4²+（4-x）²，
∴x=1，
∴BC=BH=TD=1，AB=5，
设AK=EK=y，DE=z，
∵AE²=AK²+EK²=AD²+DE²，BE²=BK²+KE²=BC²+EC²，
∴4²+z²=2y²    ①，
（5-y）²+y²=1²+（4-z）²    ②
由②得到25-10y+2y²=5-8z+z²    ③，
①代入③可得z=$\frac{18-5y}{4}$   ④
④代入①可得y=$\frac{20}{7}$（负根已经舍弃），
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{20}{7}$=$\frac{50}{7}$，
故选D．

点评 本题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．