Question

如图，抛物线：与轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、与轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；

(3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位长度的速度沿轴同时出发相向而行．当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线l⊥轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）把A（－2，0）、B(4，0)代入，得

      ，解得            …………1分

     ∴抛物线的解析式为：。          …………1分

（2）由，得抛物线的对称轴为直线，

直线交轴于点D，设直线上一点T(1，)，  …………1分

作CE⊥直线，垂足为E，

由C(0，4)得点E(1，4)，                     …………1分

在Rt△ADT和Rt△TEC中，

由TA＝TC得，          …………1分

解得，∴点T的坐标为(1，1).             …………1分

（3）解：（Ⅰ）当时，△AMP∽△AOC ，

∴，。  …………1分

∴      …………1分

∵当时，S随的增加而增加，

∴当时，S的最大值为8。                         …………1分

（Ⅱ）当时，作PF⊥y轴于F，

有△COB∽△CFP，

又CO＝OB，

∴FP＝FC＝，

                   …………1分

∴   …………1分

∴当时，S的最大值为。                               …………1分

综上所述，S的最大值为。