Question

有50台电视，70台洗衣机，计划调配给下属的甲乙两店销售，其中80台给甲，40台给乙，利润如下：甲店电视300元，洗衣机260元；乙店电视250元，洗衣机240元．设给甲店x台电视，总利润为y．
（1）写出y与x的关系式，并求出x的取值范围；
（2）若给甲的洗衣机大于给乙的洗衣机5倍，总利润不小于31500元，写出调配方案；
（3）若甲电视让利m元，其它不变，甲电视利润大于甲洗衣机利润，写出调配方案，并求出总利润最大值．

Answer 1

考点：一次函数的应用

专题：

分析：（1）设给甲店x台电视，则给（80-x）台洗衣机，给乙店电视机（50-x）台，洗衣机为40-（50-x）=（x-10）台，根据总利润=甲店电视机的利润+甲店洗衣机的利润+乙店电视机的利润+甲店洗衣机的利润，得出y与x的关系式，根据电视机与洗衣机的台数均为非负数列出不等式组，求解即可；
（2）根据给甲的洗衣机大于给乙的洗衣机5倍，总利润不小于31500元，列出不等式组，解不等式组即可；
（3）求出让利后，y与x的函数关系式，利用一次函数的增减性确定答案．

解答：解：（1）设给甲店x台电视，则给（80-x）台洗衣机，给乙店电视机（50-x）台，洗衣机为40-（50-x）=（x-10）台，
则y=300x+260（80-x）+250（50-x）+240（x-10），
即y=30x+30900，
∵

x≥0 80-x≥0 50-x≥0 x-10≥0

，
∴10≤x≤50，
∴y=30x+30900（10≤x≤50）；

（2）根据题意得

80-x＞5(x-10) 30x+30900≥31500

，
解得20≤x＜21

2

3

，
∵x为整数，
∴x=20，21，
即有两种调配方案可供选择：
方案1：调配给甲店20台电视机，60台洗衣机，调配给乙店电视机30台，洗衣机10台；
方案2：调配给甲店21台电视机，59台洗衣机，调配给乙店电视机29台，洗衣机11台；

（3）∵甲电视利润大于甲洗衣机利润，
∴m＜300-260=40，
此时y=（300-m）x+260（80-x）+250（50-x）+240（x-10）=30x-mx+30900，
∵-5＜0，
∴y=-5x+16800随x的增大而减小，
故当x=10时，y_最大值=16750（元）．

点评：本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是用含x的式子表示出每店每样产品的数量，将实际问题转化为函数思想求解，注意一次函数增减性求最值的应用．