Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AB=10，AD=8，求CF的长．

Answer 1

证明：（1）ED与⊙O的位置关系是相切．理由如下：
连接OD，
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴=，
∴OD⊥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线．
（2）连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
在直角△ABD中，BD==6，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
又∵∠AFC=∠BFD，
∴∠FBD=∠CAD=∠BAD，
∴△FBD∽△BAD，
∴=，即=，
解得：FD=，
∴AF=AD-DF=．
分析：（1）连接OD，根据∠CAB的平分线交⊙O于点D，则=，依据垂径定理可以得到：OD⊥BC，然后根据直径的定义，可以得到OD∥AE，从而证得：DE⊥OD，则DE是圆的切线；
（2）首先证明△FBD∽△BAD，依据相似三角形的对应边的比相等，即可求DF的长，继而根据AF=AD-DF，可求得答案．
点评：本题考查了切线的判定，涉及了相似三角形的判定与性质、勾股定理，注意掌握切线的判定定理，第二问的难点在于利用相似求出DF的长度，此题难度较大．