题目内容
3．某企业某年年初建厂生产某种产品，其年产量为y件，每件产品的利润为2200元，建厂年数为x，y与x的函数关系式为y=-2x2+40x+50．由于设备老化，从2011年起，年产量开始下滑．若该企业2012年投入100万元用于更换所有设备，则预计当年可生产产品122件，且以后每年都比上一年增产14件．（1）若更换设备后，至少几年可收回投入成本？
（2）试写出更换设备后，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式；并求出，到哪一年年产量可超过假定设备没有更换的年产量？
分析 （1）确定设备更新后第n年的利润，组成等差数列，求出n年的总利润，根据当总利润超过100万元时可收回投入成本，建立不等式，即可求得结论；
（2）求出当建厂10年时产量最大，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式为Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10），根据当Q≥250，可得结论．
解答 解：（1）设至少n年可收回投入成本，则：
设备更新后第一年的产量=122，设备更新后第一年的利润L1=122×2200
设备更新后第二年的产量=122+14×1，设备更新后第二年的利润L2=（122+14×1）×2200
…
设备更新后第n年的产量Q=122+14（n-1），设备更新后第n年的利润Ln=[122+14（n-1）]×2200
∴n年的总利润L=L1+L2+L3+…+Ln
=2200[122+（122+14）+（122+14×2）+…+122+14（n-1）]
=2200[122n+7n（n-1）]
=2200（7n2+115n）
∵当总利润超过100万元时可收回投入成本
∴2200（7n2+115n）≥1000000
∴77n2+1265n-5000≥0
解得n≥3.29或n≤-19.38（舍去）
∵年数取整数，∴n=4
∴至少4年可收回投入成本；
（2）y=-2x2+40x+50=-2（x-10）2+250
∴当建厂10年时产量最大，ymax=250
∴更换设备后，年产量Q件与企业建厂年数x的函数关系式为Q=122+14[（x-10）-1]=14x-32，（x＞10）
当Q≥250时有：14x-32≥250，
解得x≥20.14≈20，
∴约建厂20年的时候产量超过设备没有更换的年产量．
点评 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．
周周清检测系列答案
轻巧夺冠周测月考直通高考系列答案| A． | 17 | B． | 37 | C． | -17 | D． | 98 |
| A． | 3500（1+x）=4200 | B． | 3500（1-x）+3500（1-x）2=4200 | ||
| C． | 3500（1-x）=4200 | D． | 3500（1-x）2=4200 |
如图，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，过C、D的⊙O交AC、BC分别于E、F．若⊙O的半径为$\sqrt{3}$，AC=2+2$\sqrt{2}$，则△CEF的面积为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $2\sqrt{2}$ | C． | $2+\sqrt{2}$ | D． | $2\sqrt{3}$ |
如图所示，在⊙O中，OB⊥OC于点O，则∠BAC的度数为（ ）| A． | 30° | B． | 45° | C． | 60° | D． | 90° |