已知如图半圆O的半径OA=4.P是OA延长线上一点.过线段OP的中点B作垂线交⊙O于点C.射线PC交⊙O于点D.联结OD．(1)若$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$.求∠COD的度数,(2)若$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$.求弦CD的长,(3)若点C在$\widehat{AD}$上时.设PA=x.CD=y.求y与x的函数关系式及自� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

11．

已知如图半圆O的半径OA=4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中点B作垂线交⊙O于点C，射线PC交⊙O于点D，联结OD．
（1）若$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，求∠COD的度数；
（2）若$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，求弦CD的长；
（3）若点C在$\widehat{AD}$上时，设PA=x，CD=y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

分析（1）首先利用垂直平分线的性质易得CP=CO，利用等边对等角得∠P=∠COP，由同弧所对的圆心角相等易得∠DOC=∠COP，利用外角的性质和三角形的内角和定理，等量代换得出结论；
（2）首先利用（1）中的结论，运用相似三角形的判定定理得△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性质得$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DC}{DO}$，代入数值得出CD；
（3）首先由四点共圆可得∠PQD+∠ACD=180°，由邻补角定义易得∠PCA=∠PQD，易得△PCA∽△PQD，利用相似三角形的性质易得$\frac{PC}{PQ}=\frac{PA}{PD}$，代入可得关系式．

解答解：（1）连接OC，如图1，
∵BC⊥PO，PB=OB，
∴CP=CO，
∴∠P=∠COP，
∵$\widehat{AC}=\widehat{CD}$，
∴∠DOC=∠COP，
在△COD中，2∠DCO+∠DOC=180°，
∵∠DCO=∠P+∠COP=2∠COP=2∠DOC，
∴5∠DOC=180°，
∴∠DOC=36°；

（2）∵$\widehat{AC}=\widehat{CD}$，
∴∠DOC=∠COP，
∵BC垂直平分OP，
∴PC=OC=4，
∴∠P=∠POC=∠DOC，
∴△DOC∽△DPO，
∴$\frac{DO}{DP}$=$\frac{DC}{DO}$，
设CD=y，则16=（y+4）y，解得：y=2$\sqrt{5}$-2，
即CD的长为2$\sqrt{5}$-2；

（3）延长PO交圆于Q点，连结AC，如图2，
∵∠PQD+∠ACD=180°，
∴∠PCA=∠PQD，
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PQD，
∴$\frac{PC}{PQ}=\frac{PA}{PD}$，
∴4（4+y）=x（x+8），
∴y=$\frac{{x}^{2}+8x-16}{4}$ （4$\sqrt{2}$-4＜x＜4）．

点评此题主要考查了圆周角定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定及性质等，作出适当的辅助线，综合运用各定理是解答此题的关键．

练习册系列答案

1课一练课时达标系列答案

毕业班综合训练系列答案

各地期末测试大考卷系列答案

初中基础知识名师讲析与测试系列答案

毕业综合练习册系列答案

学习能力自测系列答案

单元同步训练系列答案

考点精练语法与单项选择系列答案

八斗才期末总动员系列答案

初中生世界系列答案

相关题目

1．下列的抛物线中，顶点是（-1，3）的是（　　）

y=2（x+1）²+3

2．如果三角形的三条边长中存在一边是另一边两倍关系，则称这样的三角形为“倍边三角形”．例如：边长为a=2，b=3，c=4的三角形就是一个倍边三角形．
（1）如果一个倍边三角形的两边长为6和8，那么第三边长所有可能的值有3，4，12；
（2）图1和图2中，△ABC都是倍边三角形，且AB=AC，BC=2，请在图中画出分割线（画图工具不限，标注出每个小三角形的边长，不写画法，不需证明，每个图形画出一种情形即可）
①请在图1中画一条分割线，把△ABC分成两个小三角形，使每个小三角形都是倍边三角形；
②请在图2中画两条分割线，把△ABC分成三个小三角形，使每个小三角形都是倍边三角形．
（3）如图3，半圆O的直径AB=12，点C在半圆O上，OC⊥AB，P是直径AB上的动点（不与点O重合），连接CO，CP．随着点P的运动，如果△POC是倍边三角形，求AP的长．

设抛物线y=mx²-3mx+2（m≠0）与x轴的交点为A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=17，其中x₁＜x₂，抛物线的顶点为M，点P（a，b）为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
（2）当∠APB=90°时，求P点坐标；
（3）连接AC，过P点做直线PE∥AC交x轴于点E，是否存在一点P，使以点A、C、P、E为顶点的四边形为平行四边形？若不存在试说明理由；若存在，试求出点P的坐标．

如图，矩形ABCD中，AB=2AD，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，连接CP，则sin∠DCP的值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为（4，8）或（-12，-8）．

如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（　　）

已知二次函数y=x²+bx-4的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=$\frac{1}{4}$
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；
（3）是否存在实数x₁、x₂（x₁＜x₂），当x₁≤x≤x₂时，y的取值范围为$\frac{12}{{x}_{2}}$≤y≤$\frac{12}{{x}_{1}}$？若存在，直接写出x₁，x₂的值；若不存在，说明理由．

如图是由一个圆柱和长方体组合而成的几何体，它的俯视图是（　　）