Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足

CF

FD

=

1

3

，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：
①△ADF∽△AED；②FG=2；③S_△DEF=4

5

；④tan∠E=

5

2

．
其中正确的是

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：由CD⊥AB，根据垂径定理得

AC

=

AD

，则根据圆周角定理得∠ADC=∠AED，加上∠FAD=∠DAE可判断△ADF∽△AED；根据垂径定理还可得到CG=DG，由于

CF

FD

=

1

3

，CF=2，则FD=3CF=6，CD=CF+FC=8，所以CG=DG=4，于是有FG=CG-CF=2；连结AC，作HE⊥CD于H，利用勾股定理计算出AG=

5

，再证明△ACF∽△EDF，利用相似比可计算出EF=4，然后证明△HEF∽△GAF，利用相似比计算出HE=

4 5

3

，于是可根据三角形面积公式得到S_△DEF=

1

2

HE•FD=4

5

；在Rt△ACG中，根据正切的定义得到tan∠ACG=

AG

CG

=

5

4

，而由圆周角定理得∠ACD=∠AED，所以tan∠AED=

5

4

．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠ADC=∠AED，
而∠FAD=∠DAE，
∴△ADF∽△AED，所以①正确；
∵CD⊥AB，
∴CG=DG，
∵

CF

FD

=

1

3

，CF=2，
∴FD=3CF=6，
∴CD=CF+FC=8，
∴CG=DG=4，
∴FG=CG-CF=2，所以②正确；
连结AC，作HE⊥CD于H，如图，
在Rt△AFG中，AF=3，FG=2，
∴AG=

AF2-FG2

=

5

，
∵∠CAF=∠FDE，∠ACF=∠FED，
∴△ACF∽△EDF，
∴CF：EF=AF：FD，即2：EF=3：6，
∴EF=4，
∵HE∥AG，
∴△HEF∽△GAF，
∴HE：AG=EF：AF，即HE：

5

=4：3，
∴HE=

4 5

3

，
∴S_△DEF=

1

2

HE•FD=

1

2

×

4 5

3

×6=4

5

，所以③正确；
在Rt△ACG中，tan∠ACG=

AG

CG

=

5

4

，
∵∠ACD=∠AED，
∴tan∠AED=

5

4

，所以④错误．
故答案为①②③．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；会运用勾股定理和三角形相似的性质进行几何计算．