Question

4．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C（0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE面积S的最大值；
（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出点A坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出S_△PCE=S_△PBC-S_△PBE=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+$\frac{3}{2}$，即可求出最大面积；
（3）先求出抛物线顶点坐标，由等腰三角形的两腰相等建立方程求出点Q坐标．

解答 解：（1）∵B（1，0），C（0，3），
∴OB=1，OC=3．
∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．
∴OA=OC=3，
∴A（-3，0），
∵点A，B，C在抛物线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=-x²-2x+3，
（2）设点P（x，0），则PB=1-x，
∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，3），
∴OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=6，
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△PBE}}{{S}_{△ACB}}=（\frac{PB}{AB}）^{2}$，
∴S_△PBE=$\frac{3}{8}$（1-x）²，
∴S_△PCE=S_△PBC-S_△PBE=$\frac{1}{2}$PB×OC-$\frac{3}{8}$（1-x）²=$\frac{1}{2}$（1-x）×3-$\frac{3}{8}$（1-x）²=-$\frac{3}{8}$（x+1）²+$\frac{3}{2}$，
当x=-1时，S_△PCE的最大值为$\frac{3}{2}$．
（3）∵二次函数的解析式为y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点坐标（-1，4），
∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，
∴MQ=OQ，
∴$\sqrt{（x+1）^{2}+（-{x}^{2}-2x+3-4）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（-{x}^{2}-2x+3）^{2}}$，
∴8x²+18x=7=0，
∴x=$\frac{-9±\sqrt{137}}{8}$，
∴y=$\frac{59+\sqrt{137}}{32}$或y=$\frac{59-\sqrt{137}}{32}$，
∴Q（$\frac{-9+\sqrt{137}}{8}$，$\frac{59+\sqrt{137}}{32}$），或（$\frac{-9-\sqrt{137}}{8}$，$\frac{59-\sqrt{137}}{32}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算方法，等腰三角形的性质，解本题的关键是确定出抛物线解析式，难点是确定三角形PCE的面积．