Question

【题目】综合与探究

如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，顶点为.

(1)求抛物线的解析式及点坐标；

(2)在直线上是否存在一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在轴上取一动点，，过点作轴的垂线，分别交抛物线，，于点，，.

①判断线段与的数量关系，并说明理由

②连接，，，当为何值时，四边形的面积最大？最大值为多少？

Answer 1

【答案】(1)，点坐标为；(2)点的坐标为；(3)①；②当为-2时，四边形的面积最大，最大值为4.

【解析】

（1）用待定系数法即可求出抛物线解析式，然后化为顶点式求出点D的坐标即可；

（2）利用轴对称-最短路径方法确定点M，然后用待定系数法求出直线AC的解析式，进而可求出点M的坐标；

（3）①先求出直线AD的解析式，表示出点F、G、P的坐标，进而表示出FG和FP的长度，然后即可判断出线段与的数量关系；

②根据割补法分别求出△AED和△ACD的面积，然后根据列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可.

解：(1)由抛物线与轴交于，两点得，

解得，

故抛物线解析式为，

由得点坐标为；

(2)在直线上存在一点，到点的距离与到点的距离之和最小.

根据抛物线对称性，

∴，

∴使的值最小的点应为直线与对称轴的交点，

当时，，

∴，

设直线解析式为直线，

把、分别代入得

，解之得：，

∴直线解析式为，

把代入得，，

∴，

即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为；

(3)①，

理由为：

设直线解析式为，

把、分别代入直线得

，解之得：，

∴直线解析式为，

则点的坐标为，

同理的坐标为，

则，，

∴；

②∵， ，，

∴AO=3，DM=2，

∴S△ACD=S△ADM+S△CDM=.

设点的坐标为，

，

∴

，

∴当为-2时，的最大值为1.

∴，

∴当为-2时，四边形的面积最大，最大值为4.