Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O，
（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=3，tanB=

3

4

，求⊙O的半径长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，由角的等量关系证明OD∥AC，证明∠C=∠ODB=90°；
（2）在Rt△ABC中，解得AB，由三角形相似列出关系式解得半径．

解答：解：（1）直线BC与⊙O相切．（1分）
理由：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，（2分）
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC．
∴OD∥AC．（4分）
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°．即OD⊥BC．
∴BC为⊙O的切线（6分）

（2）在Rt△ABC中，tanB=

3

4

，
∴

AC

BC

=

3

4

．
∵AC=3，
∴BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=5．（8分）
又∵OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC．
∴

OD

AC

=

BO

AB

∵OD=AO=r，
∴BO=5-r，
∴

r

3

=

5-r

5

（11分）
解得r=

15

8

．（12分）

点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．