Question

为了美化社区环境，某小区准备对门口的一块矩形空地ABCD重新进行绿化，已知矩形的边长AB=10m，BC=20m，绿化方案如下：在矩形ABCD中间的一块四边形EFGH地面上种花，剩下的其它四块地面上铺设草坪，并要AH=CF=2AE=2CG．在满足上述条件的所有设计中，求出使四边形EFGH面积最大的AE的长和此时四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析：先设AE=x，根据图形，可知S_{四边形EFGH}=S_矩形-S_△BEF-S_△DGH-S_△AEH-S_△GFC，由已知条件及矩形性质可得：△BEF≌△DGH，△AEH≌△CGF，即S_{四边形EFGH}=S_矩形-2S_△BEF-2S_△AEH=-4（x-5）²+100．因为0＜x＜10，故x=5，S有最大值．

解答：解：设AE=x，则AH=CF=2x，BE=DC=10-x，BF=DH=20-2x，
∴四边形EFGH的面积S=10×20-2×

1

2

x•2x-2×

1

2

（10-x）（20-2x），
即S=-4x²+40x，
又∵S=-4（x-5）²+100，
由题意，得0＜x＜10，而0＜5＜10，
∴当AE=5m时，四边形EFGH的面积最大，最大面积是100m²．

点评：本题利用了全等的三角形面积相等，以及矩形的性质，二次函数求最大值的问题．