在平面直角坐标系中.点B的坐标为(2.0).过点B作AB⊥x轴.交反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象于点A.点P(0.m)是y轴正半轴上的一个动点.以PA.PB为边作平行四边形APBC．(1)当点C落在反比例函数的图象上时.求k与m的函数关系式,(2)在点P运动过程中.平行四边形APBC能够成为一个内角为60°的菱形?如果能.求出所有满足条� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，0），过点B作AB⊥x轴，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象于点A，点P（0，m）是y轴正半轴上的一个动点，以PA、PB为边作平行四边形APBC．

（1）当点C落在反比例函数的图象上时，求k与m的函数关系式；
（2）在点P运动过程中，平行四边形APBC能够成为一个内角为60°的菱形？如果能，求出所有满足条件的k、m的值，并判断点C是否在反比例函数的图象上；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用平行四边形的性质表示出A点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出k与m的关系；
（2）可分∠APB=60°和∠PAC=60°两种情况讨论，然后运用菱形的性质及勾股定理等知识就可解决问题．

解答解：（1）∵AB⊥x轴，点B的坐标为（2，0），点P（0，m）是y轴正半轴上的一个动点，以PA、PB为边作平行四边形APBC，
∴AH=BH=m，PH=HC=2，则A（2，2m），
故xy=k=4m；

（2）连接PC交AB于点H．
①若∠APB=60°，如图1．

∵四边形APBC是菱形，
∴PH=CH，BH=AH，AB⊥PC，PA=PB，
∴△PAB是等边三角形，
∴PB=AB=2BH，
∴PH=$\sqrt{P{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$BH．
∵PH=OB=2，
∴$\sqrt{3}$BH=2，
∴BH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴m=OP=BH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，点A的坐标为（2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
∵点A在函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴k=2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
此时点C的坐标为（4，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∵4×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=k，
∴点C在y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上．
②若∠PAC=60°，如图2．

∵四边形APBC是菱形，
∴PH=CH，BH=AH，AB⊥PC，PA=PB，
∴△PCB是等边三角形，
∴PB=PC=2PH=4，
∴OP=2$\sqrt{3}$，则C点坐标为；（4，2$\sqrt{3}$），
可得：k=8$\sqrt{3}$，m=2$\sqrt{3}$，
点C的坐标为（4，2$\sqrt{3}$），在y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上．