Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．

(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；

(2)已知点A(1，2)．试说明抛物线总经过点A；

(3)已知点B(0，2)，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m=3或0<m<或-3<m<0．

【解析】

(1)把m=3代入解析式，化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；

(2)把x=1代入解析式，总等于2，与无关，即可判断抛物线总经过点A(1，2)；

(3)根据题意可以得到点C的坐标，分顶点在线段BC上、抛物线过点B(0，2)、抛物线过点C(3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到的取值范围．

(1)把m=3代入中，得：

，

∴抛物线的顶点坐标是(1，2)；

(2)当x=1时，，

∵点A(1，2)，

∴抛物线总经过点A；

(3)∵点B(0，2)，由平移得C(3，2)．

① 当顶点在线段BC上，抛物线与线段BC只有一个公共点．

由(1)知，抛物线的顶点A(1，2)在线段BC上，

此时，m=3；

② 当抛物线过点B(0，2)时，

将点B(0，2)代入抛物线表达式，得：

，

∴m=>0，

此时抛物线开口向上(如图1)，

∴当0<m<时，抛物线与线段BC只有一个公共点；

③当抛物线过点C(3，2)时，

将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：

，

∴，

此时抛物线开口向下(如图2)，

∴当时，抛物线与线段BC只有一个公共点，

综上，m的取值范围是m=3或0<m<或-3<m<0．