Question

【题目】如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．

（提出问题）

分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？

（解决问题）

为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．

已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．

（1）如图（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，则∠E＝　 　．

（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，则∠E的度数是多少呢？

小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程：

易证∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴∠D+∠1+∠B+∠4＝　 　，

∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴2∠E＝　 　，

又∵∠D＝30°，∠B＝50°，

∴∠E＝　 　度．

（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是：　 　．

（类比应用）

如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．

已知：∠D＝m°、∠B＝n°，（m＜n）求：∠E的度数．

Answer 1

【答案】【解决问题】（1）35°；（2）2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；（3）∠E＝；【类比应用】∠E＝（n﹣m）°．

【解析】

解决问题：（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论；

（2）同理列两式相加可得结论；

（3）根据（1）和（2）可得结论；

类比应用：首先延长BC交AD于点F，由三角形外角的性质，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分线的性质，即可求得答案．

解决问题：（1）如图3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，

∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，

∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，

∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，

∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，

∴2∠E＝∠B+∠D，

∴∠E＝

∴∠E＝（30°+40°）＝×70°＝35°；

故答案为：35°；

（2）如图（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，

∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，

∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∴2∠E＝∠D+∠B，

∴∠E＝，

又∵∠D＝30°，∠B＝50°，

∴∠E＝40度．

故答案为：2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；

（3）由（1）和（2）得：∠E＝，

故答案为：∠E＝；

类比应用:

如图（5），延长BC交AD于F，

∵∠BFD＝∠B+∠BAD，

∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，

∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD

∴∠ECD＝∠ECB＝∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝∠BAD，

∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，

∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣∠BCD＝∠B+∠BAE﹣（∠B+∠BAD+∠D）＝（∠B﹣∠D），

∵∠D＝m°、∠B＝n°，

即∠E＝（n﹣m）°．