Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点P（a，b）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E和点F，并且矩形PMON的面积为定值2．
（1）求k的值．
（2）求∠OAB的度数．
（3）当a=

3

2

时，证明：△AOF∽△BEO．
（4）当点P在反比例函数图象上移动时，△AOF与△BEO是否始终相似．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,相似三角形的判定

专题：综合题

分析：（1）由矩形PMON的面积为2可得到ab=2，再由点P（a，b）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上可求得k=ab=2；
（2）可求出点A、B的坐标，从而得到OA=OB，再根据∠AOB=90°就可求出∠OAB的度数；
（3）过点E作ED⊥y轴于点D，过点F作FC⊥x轴于点C，则有BE=

2

DE=

2

a，AF=

2

FC=

2

b．由a=

3

2

可求出b、BE、AF，由此可得到

AF

AO

=

BO

BE

，根据相似三角形的判定即可证到△AOF∽△BEO；
（4）同（3）可得到BE=

2

a，AF=

2

b，则有BE•AF=2ab=4=OA•OB，即

AF

AO

=

BO

BE

，根据相似三角形的判定即可证到△AOF∽△BEO．

解答：解：（1）∵点P坐标为（a，b），矩形PMON的面积为2，
∴ab=2．
∵点P（a，b）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=ab=2；

（2）在y=-x+2中，
由x=0得y=2，则B的坐标为（0，2），OB=2；
由y=0得x=2，则A的坐标是（2，0），OA=2，
∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°；

（3）证明：过点E作ED⊥y轴于点D，过点F作FC⊥x轴于点C，如图，
则有BE=

DE

sin45°

=

2

DE=

2

a，AF=

FC

sin45°

=

2

FC=

2

b．
∵a=

3

2

，ab=2，
∴b=

4

3

，
∴BE=

3 2

2

，AF=

4 2

3

，
∴BE•AF=4，
∴BE•AF=OA•OB=4，
∴

AF

AO

=

BO

BE

．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（4）当点P在反比例函数图象上移动时，△AOF与△BEO始终相似．
理由如下：
如图，由（3）得BE=

2

a，AF=

2

b，
∴BE•AF=2ab=4=OA•OB，
∴

AF

AO

=

BO

BE

．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO．

点评：本题主要考查了反比例函数及一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、相似三角形的判定、三角函数等知识，运用整体思想得到BE•AF=2ab=4=OA•OB是解决第（4）小题的关键．