Question

如图，Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE+CF=EF；⑤S_{四边形AEDF}=

1

4

AD²，
其中正确结论是

①②③

（填序号）

Answer 1

分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，DE=FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF=AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S_{四边形AEDF}=S_△ADC=

1

2

AD²，从而判定⑤的正误．

解答：解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，

∠EAD=∠C AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，ED=FD．故①②正确；
又∵△ABD≌△ACD，
∴△BDE≌△ADF．故③正确；
∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，ED=FD，
∴BE+CF=BE+AE=AB=

2

BD，
∵EF=

2

ED，BD＞ED，
∴BE+CF＞EF．故④错误；
∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，
∴S_{四边形AEDF}=S_△ADC=

1

2

AD²．故⑤错误．
综上所述，正确结论是①②③．
故答案是：①②③．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．