Question

【题目】已知有理数在数轴上对应的点分别为，其中b是最小的正整数，满足．

（1）填空：__________，_____________，___________；

（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．

i）定义：已知为数轴上任意两点，将数轴沿线段的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段的中点Q为点M和点N的折点．

试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？

ii）当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数m，使得的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）-2,1,5；（2）i）当t= 或t=时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点；ii）存在，当常数m=2时，的值在一定时间范围内不随t的改变而改变.

【解析】

（1）根据b是最小的正整数得到b=1，根据 求出a=-2，c=5；

（2）i）先得到运动t秒后三个点对应的数，再分三种情况分别计算t的值；

ii）先分别用t表示出AC、AB，再根据将AC、AB的式子代入即可求出常数m的值.

（1）∵b是最小的正整数，

∴b=1，

∵，

∴a+2=0，c-5=0，

∴a=-2，c=5，

故答案为：-2,1,5；

（2）

i）t秒后点A、B、C表示的数分别是：4t-2，1+t，5+t，

当点A是中点时，1+t+5+t=2（4t-2），得t= ，

当点B是中点时，4t-2+5+t=2（1+t），得t=（舍去），

当点C是中点时，4t-2+1+t=2（5+t），得t=，

综上，当t= 或t=时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点；

ii）存在，

∵t秒后点A、B、C表示的数分别是：4t-2，1+t，5+t，

∴AC=5+t-4t+2=7-3t，

当点A在点B的右侧时即AB =4t-2-1-t =3t-3时，

= ，

∴常数m=2，此时=2AC+2AB=8，即AC+AB=4，

∵AC+AB=7-3t+3t-3=4，

∴当常数m=2时，的值在一定时间范围内不随t的改变而改变；

当点B在点A右侧即AB=1+t-4t+2=3-3t时，

=，

∴常数m=-2，此时=2AC-2AB=20，即AC-AB=10，

∵7-3t-(3-3t)=4，

∴m=-2舍去，

综上，当常数m=2时，的值在一定时间范围内不随t的改变而改变.