Question

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．

如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2．

(1)    请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

Answer 1

解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；

则设抛物线的解析式为(a≠0)

又点D(0，-3)在抛物线上，∴a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1

 ∴y=x²-2x-3

自变量范围：-1≤x≤3

解法2：设抛物线的解析式为(a≠0)

根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上

∴，解之得：

∴y=x²-2x-3                         

自变量范围：-1≤x≤3

 (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，

在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，∴∠CMO=60°,OC=

在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，∴ME=4

 ∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0)

∴切线CE的解析式为

 (3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k≠0)

由题意可知方程组只有一组解

即有两个相等实根，∴k=-2

∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3。