Question

已知：A 、B 、C 不在同一直线上.
（1）若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O上，
（I）如图一，当∠A=45 °时，R=1 ，求∠BOC 的度数和BC 的长度； 
（Ⅱ）如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A=；
（2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.

Answer 1

解：（1） ①∠BOC=90 °（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）；
由勾股定理可知BC==       （提示：也可延长BO或过点O作BC边的垂线段）      
②证明：可连接BO并延长，交圆于点E，连接EC.        
可知EC⊥BC（直径所对的圆周角为90°）        
且∠E=∠BAC（同弧所对的圆周角相等）        
故sin∠A=.
（2）保持不变.可知△CQP ∽△BQA ，且∠AQP= ∠BQC，
所以△BCQ∽△APQ;      
即
AP==（为定值）.
故保持不变。