Question

（2013•衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A₁B₁C₁D₁；顺次连结四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，可得四边形A₂B₂C₂D₂；顺次连结四边
形A₂B₂C₂D₂各边中点，可得四边形A₃B₃C₃D₃；按此规律继续下去…．则四边形A₂B₂C₂D₂的周长是

20

；四边形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃D₂₀₁₃的周长是

5+5 3

21005

．

Answer 1

分析：根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可．

解答：解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，
∴△AA₁D₁是等边三角形，四边形A₂B₂C₂D₂是菱形，
∴A₁D₁=5，C₁D₁=

1

2

AC=5

3

，A₂B₂=C₂D₂=C₂B₂=A₂D₂=5，
∴四边形A₂B₂C₂D₂的周长是：5×4=20，
同理可得出：A₃D₃=5×

1

2

，C₃D₃=

1

2

C₁D₁=

1

2

×5

3

，
A₅D₅=5×（

1

2

）²，C₅D₅=

1

2

C₁D₁=（

1

2

）²×5

3

，
…
∴四边形A₂₀₁₃B₂₀₁₃C₂₀₁₃D₂₀₁₃的周长是：

2(5+5 3 )

21006

=

5+5 3

21005

．
故答案为：20，

5+5 3

21005

．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．