Question

如图，在矩形ABCD中，BD=20，AD＞AB，若sin∠ADB的值是一元二次方程25x²-35x+12=0的一个根．
（1）求AD、AB的值．
（2）若EC+CF=8，S_△AEF=48时，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）用十字相乘法因式分解求出方程的根，由正弦值求出AB的长，由勾股定理求出AD的长．（2）设EC的长为y，由s_△AEF=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，得到关于y的一元二次方程，先求出y，再用勾股定理求出EF的长．

解答：解：（1）（5x-3）（5x-4）=0
∴x₁=

3

5

，x₂=

4

5

．
∵AD＞AB，∴x=

3

5

=

AB

BD

，∴AB=

3

5

BD=

3

5

×20=12．
AD=

BD2-AB2

=

202-122

=16．
故AD=16，AB=12．

（2）设EC=y，则CF=8-y，BE=16-y，DF=12-（8-y）=4+y，
S_△AEF=12×16-

1

2

×12×（16-y）-

1

2

×16×（4+y）-

1

2

y（8-y）=48
方程整理得：
y²-12y+32=0
（y-4）（y-8）=0
∴y₁=4，y₂=8．
当y=4时，EF=

42+42

=4

2

．
当y=8时，点F与点C重合，此时EF=8．

点评：本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，（1）题用十字相乘法因式分解求出方程的根，再结合三角函数和勾股定理求出AD和AB的长．（2）根据题意列出一元二次方程，用十字相乘法因式分解求出方程的根，再用勾股定理求出线段的长．