题目内容
如图，M是△ABC的BC边的中点，P是线段AM的中点，直线CP交AB边于点D．试求
| BD |
| AD |
| CP |
| PD |
分析：作MQ∥CD交AB于Q，根据M是BC的中点可知Q为BD的中点，即BQ=DQ，可求出
=2，进而可求出
的值．
| BD |
| AD |
| CP |
| PD |
解答：解：解法1（面积法）：令
=t，S△PAD=x，连接BP，则S△PBD=tx，
∵点M是△ABC的BC边的中点，
∴S△PBM=S△PCM，S△ABM=S△ACM．
∴S△ABM-S△PBM=S△ACM-S△PCM，即S△ACB=S△ABP=（t+1）x．
又∵P是线段AM的中点，
∴S△PBM=S△PCM=S△ACP=（t+1）x．
∵
=
=
，
∴
=
．
解得，t=2即
=2，
=
=
=t+1=3；
解法2，（中位线定理及其逆定理）：
作MQ∥CD交AB于Q，
∵M是BC的中点知Q为BD的中点，即BQ=DQ．
又∵P是线段AM的中点，可得AD=DQ．从而
=2．
∴CD=2MQ=4PD．
∴
=
=3．
| BD |
| AD |
∵点M是△ABC的BC边的中点，
∴S△PBM=S△PCM，S△ABM=S△ACM．
∴S△ABM-S△PBM=S△ACM-S△PCM，即S△ACB=S△ABP=（t+1）x．
又∵P是线段AM的中点，
∴S△PBM=S△PCM=S△ACP=（t+1）x．
∵
| DP |
| PC |
| S△ADP |
| S△ACP |
| S△PBD |
| S△PCB |
∴
| x |
| (t+1)x |
| tx |
| 2(t+1)x |
解得，t=2即
| BD |
| AD |
| CP |
| PD |
| S△ACP |
| S△ADP |
| (t+1)x |
| x |
解法2，（中位线定理及其逆定理）：
作MQ∥CD交AB于Q，
∵M是BC的中点知Q为BD的中点，即BQ=DQ．
又∵P是线段AM的中点，可得AD=DQ．从而
| BD |
| AD |
∴CD=2MQ=4PD．
∴
| CP |
| PD |
| CD-PD |
| PD |
点评：本题考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形中位线定理进行证明．
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