Question

如图5­2­19，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，FE⊥AB，BE＝EF＝2，FE的延长线交CD的延长线于点G，DG＝GE＝3，连接FD.

(1)求⊙O的半径；

(2)求证：DF是⊙O的切线．

Answer 1

 (1)解：设⊙O的半径为r.

∵BE＝2，DG＝3，∴OE＝2＋r，OG＝3＋r.

∵EF⊥AB，∴∠AEG＝90°.

在Rt△OEG中，根据勾股定理，得OE²＋EG²＝OG²，

∴(2＋r)²＋3²＝(3＋r)²，解得r＝2.

(2)证明：∵EF＝2，EG＝3，∴FG＝EF＋EG＝3＋2＝5.

∵DG＝3，OD＝2，

∴OG＝DG＋OD＝3＋2＝5.∴FG＝OG.

∵DG＝EG，∠G＝∠G，∴△DFG≌△EOG.

∴∠FDG＝∠OEG＝90°.∴DF⊥OD.

∴DF是⊙O的切线．