题目内容
14．
四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB，求证：$\frac{BE}{DE}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$．
分析 先证明△ABC∽△ADC，得出面积比等于相似比的平方：$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$，再由三角形的面积关系求出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BE}{DE}$，即可得出结论．
解答 证明：∵AC为AB、AD的比例中项，
∴AC2=AB•AD，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴△ABC∽△ADC，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$，
∵$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABE}+{S}_{△BCE}}{{S}_{△ADE}+{S}_{△CDE}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$．
点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
练习册系列答案
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将三个三角形（△ABC、△ACD、△ADE）拼接在一起恰巧组成∠BAE=90°，AB=AE，已知BC=3，DE=2，∠B=∠E=90°，∠CAD=45°，则CD长为5．
如图，在△ABC中画出高线AD、中线BE、角平分线CF．
如图，将正方形纸片ABCD沿直线EF折叠，若图中①、②、③、④四个三角形的周长之和为8，则正方形ABCD的面积为4．
19．
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，BD⊥AC于点D，E是AB的中点，连接CE，交BD于点M，点F在AC上，连接EF，过点E作EN∥BD，交AC于点N．若∠FEC=90°，则$\frac{EM}{EF}$的值为（ ）
如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，BD⊥AC于点D，E是AB的中点，连接CE，交BD于点M，点F在AC上，连接EF，过点E作EN∥BD，交AC于点N．若∠FEC=90°，则$\frac{EM}{EF}$的值为（ ）| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{4}{3}$ | D． | $\frac{6}{5}$ |
6．
如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）| A． | $\frac{1}{5}$ | B． | $\frac{2}{5}$ | C． | $\frac{3}{5}$ | D． | $\frac{4}{5}$ |
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点．求证：DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC．