Question

14．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，垂足为M，过点A作AE⊥AC，交CD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC=8，sin∠ABD=$\frac{4}{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出EC的长，再利用勾股定理得出AE的长，进而求出答案．

解答 （1）证明：∵AC⊥BD，AE⊥AC，
∴AE∥BD，
∵AB∥DC，
∴AB∥DE．
∴四边形ABDE为平行四边形；

（2）解：∵四边形ABDE为平行四边形，
∴BD=AE，∠E=∠ABD．
∵sin∠ABD=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠E=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{4}{5}$．
在Rt△EAC中，∵AC=8，
∴CE=10，AE=6，
∴BD=6．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系，正确得出EC的长是解题关键．