Question

如图，正方形ABCD中，AB=1，BC为⊙O的直径，P是AD边上一点，BP交⊙O于点F，CF的延长线交AB于点E，连接PE．若CF=2EF，则PF的长为________．

Answer 1

分析：由BC为⊙O的直径，正方形ABCD，易证得AB是⊙O的切线，由弦切角定理，可得∠ABP=∠FCB，易证得△ABP≌△BCE，△CEB∽△CBF，即可得CE=BP，，又由AB=1，CF=2EF，可求得EF，CF，CE的长，然后由勾股定理可求得BF的长，继而求得答案．
解答：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BFC=90°，
即BF⊥EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，
∴AB是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠FCB，
在△ABP和△BCE中，
∵，
∴△ABP≌△BCE（ASA），
∴BP=EC，
∵∠EBC=∠CFB=90°，∠EBF=∠FCB，
∴△CEB∽△CBF，
∴，
∵CF=2EF，
∴，
∴EF=，
∴CF=2EF=，EC=3EF=，
∴BP=，
在Rt△BCF中，BF==，
∴PF=BP-BF=-=．
故答案为：．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．