Question

△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α（0＜α＜90°）得△GHC，连结BH、CH．CH交AB于点D，GH交AB、AC于点E、点F．
（1）在图中不添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等三角形，并加以证明．（△ABC与△GHC全等除外）
（2）当△BHD是等腰三角形时，求α．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CGF或△AEF≌△HED或△ACD≌△HCF等．由旋转的意义可证∠GCF=∠BCD，GC=BC，∠G=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CGF．
（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论HB=HD、BH=BD、HD=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．

解答：解：如图所示，

（1）全等的三角形有：△CBD≌△CGF或△AEF≌△HED或△ACD≌△HCF等；
以证△CBD≌△CGF为例：
证明：∵∠ACH+∠GCF=∠ACH+∠BCD=90°，
∴∠GCF=∠BCD，
∵GC=BC，
∴∠G=∠CBD=45°，
∴△CBD≌△CGF；
（2）在△CBH中，
∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB=

1

2

（180°-α），
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
①若HB=HD，则∠HDB=∠HBD，
∵∠HDB=45°+α，
∠HBD=∠CBH-45°=

1

2

（180°-α）-45°=45°-

α

2

，
∴45°+α=45°-

α

2

，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BHC=∠HBC＞∠HBD，
∴BD＞HD，即BD≠HD；
③若BH=BD，则∠BDH=∠BHD，
即45°+α=

1

2

（180°-α），
∴α=30°，
由①②③可知，当△BHD为等腰三角形时，α=30°．

点评：本题考查了全等三角形的判定，综合应用直角三角形性质解直角三角形，进行逻辑推理能力和运算能力．