Question

17．如图，一次函数y=kx+b（b＜0）的图象与反比例函数y=$\frac{π}{x}$的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△PAC=1，$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积求法结合锐角三角函数关系得出AP的长，进而得出OD的长；
（2）利用（1）中所求，利用待定系数法求出一次函数与反比例函数解析式即可．

解答 解：（1）∵S_△PAC=1，tan∠ACP=$\frac{1}{2}$，
∴设AP=x，则AC=2x，故$\frac{1}{2}$x•2x=1，
解得：x=1，
即OB=AP=1，AC=2，
∵$\frac{OB}{OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DO=2，
∴D（0，-2）；

（2）∵tan∠ACP=tan∠OCD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
由（1）得：DO=2，
则CO=4，
∴OA=6，
P（6，1），
将P点代入y=$\frac{m}{x}$，
解得：m=6，
故反比例函数解析式为：y=$\frac{6}{x}$，
将D（0，-2），P（6，1）代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
故一次函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2．

点评 此题主要考查了待定系数法求函数解析式以及锐角三角函数关系，根据题意得出P点坐标是解题关键．