Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线y＝﹣x+b与抛物线相交于点A，D，与y轴交于点E，已知OB＝，OC＝2．

（1）求a，b，c的值；

（2）点P是抛物线上的一个动点，若直线PE∥AC，连接PA、PE，求tan∠APE的值；

（3）动点Q从点C出发，沿着y轴的负方向运动，是否存在某一位置，使得∠OAQ+∠OAD＝30°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），b=-1，c=2；（2）；（3）点Q的坐标为（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）先确定B、C点坐标，再利用待定系数法求抛物线解析式得到a、c的值，然后解方程

﹣x2﹣x+2＝0得A（﹣2，0），然后把A点坐标代入y＝﹣x+b得b的值；

（2）易得直线AC的解析式为y＝x+2，E（0，1），利用直线平移得到直线PE的解析式为y＝x﹣1，则解方程组得P点坐标为（3，4）或

（，0）；当P点坐标为（，0），即P点与B点重合，易得tan∠APE＝，此时∠ABH＝30°；当P点坐标为（3，4）时，作AH⊥PE于H，根据面积法求出PH，然后根据正切定义计算tan∠APH的值；

（3）先计算出∠CAO＝30°，∠ACO＝60°，AC＝2OC＝4，则可判断∠CAQ＝∠OAD，作QF⊥AC于F，如图，设Q（0，t），利用三角函数的定义得到CQ＝2t，CF＝CF＝， FQ＝，则AF＝3+t，通过Rt△AQF∽Rt△AEO得（2﹣t）：1＝（3+t）：，解方程求出t得到此时Q点的坐标，易得Q（0，）关于x轴的对称点（0，）也满足条件．

解：（1）∵OB＝，OC＝2，

∴B（，0），C（0，2），

把B（，0），C（0，2）代入y＝ax2﹣x+c得，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+2，

当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝，则A（﹣2，0），

把A（﹣2，0）代入y＝﹣x+b得﹣1+b＝0，解得b＝﹣1；

（2）易得直线AC的解析式为y＝x+2，E（0，﹣1），

∵直线PE∥AC，

∴直线PE的解析式为y＝x﹣1，

解方程组得或，则P点坐标为（﹣3，﹣4）或（，0）；

当P点坐标为（，0），即P点与B点重合，tan∠APE＝＝，此时∠ABH＝30°，

当P点坐标为（﹣3，﹣4）时，作AH⊥PE于H，如图2，

PB＝＝8，

∵S△APB＝，

∴AH＝，

∴BH＝，

∴PH＝8﹣，

在Rt△APH中，tan∠APH＝，

综上所述，tan∠APE的值为或；

（3）存在．

如图2，在Rt△OAC中，tan∠OAC＝，

∴∠CAO＝30°，∠ACO＝60°，

∴AC＝2OC＝4，

∵∠OAQ+∠OAD＝30°，

∴∠CAQ＝∠OAD，

作QF⊥AC于F，如图，设Q（0，t），

在Rt△CQF中，CQ＝2﹣t，CF＝CF＝，FQ＝，

∴AF＝AC﹣CF＝4﹣＝3+t，

∵∠QAF＝∠OAE，

∴Rt△AQF∽Rt△AEO，

∴FQ：OE＝AF：AO，即（2﹣t）：1＝（3+t）：，解得t＝，此时Q（0，），

易得Q（0，）关于x轴的对称点（0，﹣）也满足条件，

综上所述，点Q的坐标为（0，）或（0，﹣）．