Question

已知抛物线y=

1

2

x²-x+k与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用根的判别式即可判断k的取值范围．
（2）利用两根之和与两根之积公式、等腰直角三角形的性质即可求出k的值．
（3）利用极端假设法分别求出x、y的值，再利用相似三角形的性质进行解答．

解答：解：（1）根据题意得：△=1-2k＞0，
∴k＜

1

2

，
∴k的取值范围是k＜

1

2

．

（2）设A（x₁，0）、B（x₂，0），则x₁+x₂=2，x₁x₂=2k．
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2

1-2k

，
由y=

1

2

x²-x+k=

1

2

（x-1）²+k-

1

2

得顶点D（1，k-

1

2

），
当△ABD是等腰直角三角形时得；|k-

1

2

|=2×

1

2

1-2k

，
解得k₁=-

3

2

，k₂=

1

2

，
∵k＜

1

2

，
∴k=

1

2

舍去，
∴所求抛物线的解析式是y=

1

2

x²-x-

3

2

．

（3）设E（0，y），则y＞0，
令y=0得

1

2

x²-x-

3

2

=0，
∴x₁=-1，x₂=3，∴A（-1，0）、B（3，0），令x=0得：y=-

3

2

，
∴C（0，-

3

2

），
（i）当△AOE∽△BOC时得：

AO

BO

=

OE

OC

，∴

1

3

=

y

3 2

，解得y=

1

2

，
∴E₁（0，

1

2

）；
（ii）当△AOE∽△COB时得：

AO

OC

=

OE

BO

，∴

1

3 2

=

y

3

，解得y=2，
∴E₂（0，2），
∴当△AOE和△BOC相似时，E₁（0，

1

2

）或E₂（0，2）．

点评：本题结合等腰直角三角形的性质考查二次函数的综合应用，解题时要注意以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似的表示方法．