Question

7．如图所示，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，将∠A、∠B向内翻折，使顶点A、B重合于一点P，折痕分别为FG和DE，若PE∥BC，BD=4，则PF=10-4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图，延长EP交A于M．首先证明BD=EB=EP=4，AB=12，AC=6$\sqrt{3}$，由EM∥BC，得$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，=$\frac{EM}{BC}$，即$\frac{AM}{AC}$=$\frac{8}{12}$=$\frac{EM}{6\sqrt{3}}$，推出AM=4，EM=4$\sqrt{3}$，设PF=AF=x，在Rt△EPM中，由PF²=FM²+PM²，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图，延长EP交A于M．

∵EP∥BC，
∴∠DEB=∠PED=∠EDB，
∴BD=BE=4，
∵AC=6，∠C=90°，
∴AB=12，BC=6$\sqrt{3}$，AE=AB-EB=8，
∵EM∥BC，
∴△AME∽△ACB，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，=$\frac{EM}{BC}$
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{8}{12}$=$\frac{EM}{6\sqrt{3}}$，
∴AM=4，EM=4$\sqrt{3}$，
∴PM=4$\sqrt{3}$-4，
设PF=AF=x，
在Rt△EPM中，∵PF²=FM²+PM²，
∴x²=（4-x）²+（4$\sqrt{3}$-4）²，
∴x=10-4$\sqrt{3}$即PF=10-4$\sqrt{3}$，
故答案为10-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平行线的性质、翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．