Question

16．如图，有两条互相平行的直线l₁，l₂，点A，B在直线l₁上，点D，C在直线l₂上，连接AD，BC．已知∠ADC=90°，AB=3，DC=6，BC=5．点E是线段DC上任意一点，点F在线段AB的延长线上，且AE=AF，连接EF，与线段BC相交于点G．
（1）求线段AD的长；
（2）求线段BF最大值与最小值；
（3）连接BE，FC，当BE∥CF时，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥CD于M，证出四边形ADMB是矩形，由矩形的性质得出AD=BM，DM=AB=3，因此CM=DC-DM=3，由勾股定理求出BM，即可得出结果；
（2）当点E与C重合时，BF有最大值，连接AC，由勾股定理求出AC，得出AF，即可得出BF的最大值=2$\sqrt{13}$-3；
当点E与D重合时，BF有最小值，由AF=AE=AD=4，即可得出BF的最小值=1；
（3）当BE∥CF时，四边形BECF是平行四边形，由平行四边形的性质得出BF=CE，设BF=CE=x，则AE=AF=AB+BF=3+x，DE=DC-CE=6-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作BM⊥CD于M，如图1所示：
∵∠ADC=90°，
∴BM∥AD，
∵l₁∥l₂，
∴四边形ADMB是矩形，
∴AD=BM，DM=AB=3，
∴CM=DC-DM=3，
∴AD=BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
（2）当点E与C重合时，BF有最大值，连接AC，如图2所示：
则AE=AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴AF=AE=2$\sqrt{13}$，BF的最大值=2$\sqrt{13}$-3；
当点E与D重合时，BF有最小值，
∵AF=AE=AD=4，
∴BF的最小值=4-3=1；
（3）如图3所示：当BE∥CF时，四边形BECF是平行四边形，
∴BF=CE，
设BF=CE=x，则AE=AF=AB+BF=3+x，DE=DC-CE=6-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
即4²+（6-x）²=（x+3）²，
解得：x=$\frac{43}{18}$，
即BF的长为$\frac{43}{18}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要根据题意画出图形，运用勾股定理得出方程才能得出结果．