Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”.

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点P1（， ），P2（0，－2），P3（，0）中，⊙O的“离心点”是 ；

②点P（m，n）在直线上，且点P是⊙O的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围；

（2）⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线与x轴、y轴分别交于点A，B. 如果线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①， ；②1≤m≤2；（2）圆心C纵坐标的取值范围为： ≤＜或＜≤.

【解析】试题分析：（1）①求出各点到⊙O的切线长后根据新定义进行判断即可得；

②用含m的代数式表示出点P到⊙O的切线长后根据新定义进行比较后得到关于m的不等式进行求解后即可得；

（2）先求得A、B两点坐标，设C坐标为（0，yC ），AM、BN分别为⊙C的切线，切点分别为M、N，则有AM2=，BN2 =，由线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，得不等式组，解不等式组即可得..

试题解析：（1）①过点P2作⊙O的切线P2N，切点为N，过点P3作⊙O的切线P3M，切点为M，

则∠P2NO=∠P3MO=90°，

∴P2N==，

P3M==2，

∵⊙O的半径r=1，∴点P2、P3是⊙O的“离心点”，

∵ =1，∴点P1（， ）在⊙O上，∴点P1（， ）表示⊙O的“离心点”，

故答案为： ， ；

②过点P作⊙的切线PM，切点为M，

设P（m，－m＋3），则PM2=PO2-OM2=m2+(-m+3)2-12=2m2-6m+8，

∵点P是⊙O的“离心点”，⊙O的半径为1，

∴PM≤2，

∴2m2-6m+8≤（2×1）2，

∴1≤m≤2；

（2）直线与x轴、y轴分别交于点A，B，所以A（2，0）、B（0，1），

设C坐标为（0，yC ），AM、BN分别为⊙C的切线，切点分别为M、N，

如图，AM2=AC2-CM2==，

BN2=BC2-CN2=，

∵线段AB上的所有点都是⊙C的“离心点”，

∴，

∴≤＜或＜≤，

即圆心C纵坐标的取值范围为： ≤＜或＜≤.