题目内容

已知：二次函数y=ax²-4ax+b图象，开口向上，且b＜0，与x轴的两个交点分别为A、B，且满足 $数学公式$ ，（O为坐标原点），与y轴的交点为C（0，t），顶点的纵坐标为k，且满足 $数学公式$ ．
（1）求A、B两点的坐标．
（2）求t的取值范围．
（3）当t取最小值时，求出这个二次函数式．

解：（1）二次函数y=ax²-4ax+b的对称轴为x=- $\text{[math]}$ =2，
∵ $\text{[math]}$ =5①，
∴点A在对称轴右边，点B在对称轴左边，
∴|OA|-2=|OB|+2②，
联立①②解得，|OA|=5，|OB|=1，
又∵5-2=3，
∴点A、B到对称轴x=2的距离为3，
所以，A、B两点的坐标分别为A（5，0），B（-1，0）；

（2）由|k- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ |≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 得，k- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或k- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≥- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
解得k≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或k≥-3 $\text{[math]}$ ，
所以，k的范围为-3 $\text{[math]}$ ≤k≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵抛物线与y轴的交点为C（0，t），点A（-1，0）在抛物线上，
∴b=t，a+4a+b=0，
∴5a+t=0，
抛物线顶点纵坐标k= $\text{[math]}$ =b-4a=t-4×（- $\text{[math]}$ t）= $\text{[math]}$ t，
∴-3 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ t≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
解得- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≤t≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴t=-5a＜0，
∴t的取值范围是- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≤t＜0；

（3）t取最小值时，t=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
此时，b=t=- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∵5a+t=0，
∴a= $\text{[math]}$ ，
∴这个二次函数式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求出抛物线的对称轴为x=2，根据抛物线的对称性可得|OA|-2=|OB|+2，计算求出|OA|、|OB|的长度，即可得到点A、B的坐标；
（2）解不等式得到k的取值范围，再根据点A的坐标得到a、t的关系式，然后代入顶点纵坐标消掉字母a得到关于t的不等式，求解即可得到t的取值范围；
（3）根据t的取值范围得到t的最小值，再代入a、t的关系式求出a的值，代入二次函数表达式即可得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴解析式的求解，函数的对称性，顶点坐标的求解，以及解绝对值不等式，（2）题需要注意t二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，t与b的值相等，都是负数．