Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若CF=1，DF=$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD、OD，由AB为直径可得出点D为BC的中点，由此得出OD为△BAC的中位线，再根据中位线的性质即可得出OD⊥DF，从而证出DF是⊙O的切线；
（2）CF=1，DF=$\sqrt{3}$，通过解直角三角形得出CD=2、∠C=60°，从而得出△ABC为等边三角形，再利用分割图形求面积法即可得出阴影部分的面积．

解答 （1）证明：连接AD、OD，如图所示．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴点D为线段BC的中点．
∵点O为AB的中点，
∴OD为△BAC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线．
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，DF=$\sqrt{3}$，
∴tan∠C=$\frac{DF}{CF}$=$\sqrt{3}$，CD=2，
∴∠C=60°，
∵AC=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=4．
∵OD∥AC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，
∴DG=OD•tan∠DOG=2$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△ODG-S_扇形OBD=$\frac{1}{2}$DG•OD-$\frac{60}{360}$πOB²=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、扇形面积的计算以及三角形面积的计算，解题的关键是：（1）证出OD⊥DF；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用分割图形求面积法求面积是解题的难点，在日常练习中应加强训练．