题目内容
如图，二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
(4)在AC 段的抛物线上有一点R到直线AC的距离最大,请直接写出点R的坐标.
解：（1）∵二次函数y=
x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴
，
解得 
，
∴y=
x2﹣
x﹣4．
∴C（0，﹣4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）
∴AB=4，OA=3，OC=4，
∴AC=
=5，AQ=4．
∵QD∥OC，
∴
，
∴
，
∴QD=
，AD=
．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE=x
，则EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，
∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（
）2=x2，解得 x=
，
∴OA﹣AE=3﹣=﹣
，
∴E（﹣，0）．
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4，
∵ED=AD=
，
∴AE=
，
∴OA﹣AE=3﹣=﹣
，
∴E（﹣，0）．
③当AE=AQ=4时，
∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，
∴E（﹣1，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣
，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣
，﹣
）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，
∴AP=AQ=QD=DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∵FQ∥OC，
∴
，
∴
，
∴AF=
，FQ=
，
∴Q（3﹣，﹣），
∵DQ=AP=t，
∴D（3﹣
﹣t，﹣
），
∵D在二次函数y=
x2﹣
x﹣4上，
∴﹣=（3﹣
t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t=
，或t=0（与A重合，舍去），
∴D（﹣
，﹣
）．
(4)R(
).
名校课堂系列答案
,
D、7,24,25
的半径分别为3和5，且
等于 .