Question

（10分）在△ABC中，∠BAC=90°，，AB=AC=，圆的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设OB=x，△AOC的面积为y.

（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（4分）

（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积.（6分）

Answer 1

（1）y= -x+4（0<x<4）；（2）或

【解析】

试题分析：（1）过点A作AD⊥BC于点D，S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x ；

（2）圆O与圆A相切，分外切和内切两种情况讨论：，在Rt△AOD中，根据AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8，求出x的值，可求.

试题解析：（1）过点A作AD⊥BC于点D

∵∠BAC=90° AB=AB=2 ∴BC= 4 AD=BC=2

∴S△AOC=OC×AD=×2×（4-x）= 4-x

即y= -x+4（0<x<4）

（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意

当点O与点D不重合时，在Rt△AOD中，

AO2=AD2+OD2= 4+（2-x）2=x2-4x+8

∵⊙O1的半径是1，⊙O2的半径是x

∴①当⊙A与⊙O外切时

（x+1）2=x2-4x+8 解得x=

此时，△AOC的面积是y= 4-=

②当⊙A与⊙O内切时（x+1）2=x2-4x+8 解得x=

此时，△AOC的面积是y= 4-=

∴当⊙A与⊙O相切时，△AOC的面积为或。

考点：1. 直线与圆的位置关系；2.求一次函数的解析式及一次函数的应用.