题目内容

如图，一次函数y=x+2的图象分别交轴、轴于A、B两点，O1为以OB为边长的正方形OBCD的对角线的交点．两动点P、Q同时从A点出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒
2
个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止精英家教网，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动．AO1交于轴于点E，设P、Q运动的时间为t秒．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求出E点的坐标和S△ABE的值；
（3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△ABE：S△APQ=4：3？若存在，请确定t的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据正方形的性质即可求得C的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据待定系数法求得直线AO1的解析式，求出E的坐标，根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积；
（3）分0≤t≤2，2＜t≤3，两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质，即可求解．
解答：解：（1）在y=x+2中，令y=0，则x=-2．令x=0，则y=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴BO=2，
∴OD=2，
∴C（2，2）．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
则
c=2
4a+2b+c=2
4a-2b+c=-2

∴
a=-
1
4
b=
1
2
c=2

∴函数的解析式是：y=-
1
4
x2+
1
2
x+2；

（2）设直线AO的解析式为y=kx+m，
∵A（-2，0），O1（1，1），
∴
-2k+m=0
k+m=1

∴
k=
1
3
m=
2
3

∴y=
1
3
x+
2
3

∴E的坐标是（0，
2
3
）；
∴BE=BO-EO=2-
2
3
=
4
3
．
∴S△ABE=
1
2
BE•AO=
1
2
×
4
3
×2=
4
3
．

（3）当0≤t≤2时，Q在AD上，P从A到B运动．精英家教网
过P作PH⊥x轴于点H，
则AQ=2t，AP=
2
t，
∴AH=PH=t，
∴S△APQ=
1
2
AQ•PH=
1
2
•2t•t=t2．
∵S△ABE：S△APQ=4：3，
∴S△APQ=1，
∴t2=1．
∵0≤t≤2，
∴t=1．
当2＜t≤3时，Q在DC上，P从B向A运动．延长AB、DC交于点F．
精英家教网过Q作QM⊥AF于M，则∠F=∠BAD=45°，
∴MQ=
2
2
QF．
∵DQ=2t-4，DF=AD=4，
∴QF=4-DQ=8-2t，
∴QM=
2
2
（8-2t）．
又AP=2AB-
2
t=4
2
-
2
t，
∴S△APQ=
1
2
AP•QM=
1
2
（4
2
-
2
t）•
2
2
（8-2t）=1
∴（4-t）2=1，
∵2＜t≤3，
∴4-t=1，
∴t=3，
故当t=1和3时，S△ABE：S△APQ=4：3．
点评：用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．
练习册系列答案
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精英家教网如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=
m
x
的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，
OC
OA
=
1
2
．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
精英家教网已知，如图，一次函数y1=-x-1与反比例函数y2=-
2
x
图象相交于点A（-2，1）、B（1，-2），则使y1＞y2的x的取值范围是（　　）
A、x＞1
B、x＜-2或0＜x＜1
C、-2＜x＜1
D、-2＜x＜0或x＞1
13、如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是
x＞2
．
（2013•成都）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=
kx
（k为常数，且k≠0）的图象都经过点
A（m，2）
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小．
如图，一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与反比例函数y=
4x
(x＞0)的图象交于点C，CD⊥x轴于点D，求四边形OBCD的面积．

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