题目内容
【题目】材料一：我们可以将任意三位数记为
，（其中
、
、
分别表示该数的百位数字，十位数字和个位数字，且
）.显然
.
材料二：若一个三位数的百位数字，十位数字和个位数字均不为
，则称之为“生数”，比如
就是一个“生数”，将“生数”的三个数位上的数字交换顺序，可产生出
个新的“生数”，比如由可以产生出
、
、
、
、
这个新“生数”，将这
个数相加，得到的和
称为由“生数”生成的“完全数”
问题：（1）求证：任意一个“完全数”都可以整除；
（2）若一个四位正整数
（
，
是整数）是由一个“生数”
（
，
， 
、
是整数）产生的“完全数”，请求出这个“生数”.
【答案】（1）证明见解析；（2）124，223，322，421.
【解析】
（1）先用字母写出一个“生数”，再由此数写出5个新的“生数”，然后求和，合并同类项即可；
（2）求出“生数”
产生的6个新的“生数”的和＝
，列式，利用整除的性质，求得
以及
的值，即可求解.
（1）设这个“生数”为
，即为：
，
5个新的“生数”为：
；
；
；
；
；
生成的“完全数”为：
，
∴任意一个“完全数”都可以整除
；
（2）∵“生数”为，
∴生成的“完全数”为：
，
四位正整数
，
根据题意：
，
即：
，
∵
，是整数，
，
， 
、
是整数，
∴只有
时，
,
∴
，
；
，
；
，
；
，
；共4组.
这个“生数”是：124，223，322，421.
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成绩（分） | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
人数（人） | 1 | 5 | x | y | 2 |
(1)如果这20名女生体育成绩的平均分数是82分，求x、y的值；
(2)在(1)的条件下，设20名学生测试成绩的众数是a，中位数是b，求
的值.
