Question

如图，正方形ABCD的边长为10cm，点P从A开始沿折线A-D-C以2cm/s的速度移动，点Q从D开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、D同时出发，当其中一点到达C时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，△PQB为直角三角形；
（2）①设△PQB面积为S，写出S与t的函数关系式；
②t为何值时，△PQB面积为正方形ABCD面积的

1

4

？

Answer 1

分析：（1）要使△PQB为直角三角形，则需PB²+PQ²=BQ²或BQ²+PQ²=PB²．根据勾股定理分别用t表示，得到关于t的方程即可求解；
（2）①当0≤t≤5时，点P在AD上，则△PQB面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积；当5＜t＜10时，则点P在CD上，△PQB面积等于

1

2

×10×PQ；
②结合①中的结论进行分析求解．

解答：解：（1）要使△PQB为直角三角形，则需PB²+PQ²=BQ²或BQ²+PQ²=PB²，
∵PB²=10²+（2t）²，PQ²=t²+（10-2t）²，BQ²=10²+（10-t）²，
即8t²-20t=0或t²-30t+100=0，
∴t=

5

2

或t=（15-5

5

）．

（2）①当0≤t≤5时，S=t²-10t+50；
当5＜t＜10时，S=50-5t，
②t=5时，△PQB面积为正方形面积的

1

4

．

点评：此题综合运用了一元二次方程的知识、勾股定理和正方形的性质，注意其中的分类讨论思想．