Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知B（8，0），tan∠ABC=

1

2

，△ABC的面积为8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动直线EF（EF∥x轴）从点C开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴负方向平移，且交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．连接FP，设运动时间t秒．当t为何值时，

EF•OP

EF+OP

的值最大，求出最大值；
（3）在满足（2）的条件下，是否存在t的值，使以P、B、F为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出A，B，C，三点的坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，问题得解．
（2）利用相似三角形得到

EF•OP

EF+OP

，和t的关系式问题得解．
（3）因为相似对应的不唯一性，需要讨论，分别求出满足题意的t的值．

解答：解：（1）由题意知∠COB=90°B（8，0）OB=8，
在Rt△OBC中tan∠ABC=

OC

OB

=

1

2

OC=OB×tan∠ABC=8×

1

2

=4，
∴C（0，4），S△ABC=

1

2

AB•OC=8，
∴AB=4，
∴A（4，0）
把A、B、C三点的坐标代入y=ax²+bx+c（a＞0）得

16a+4b+c=0 64a+8b+c=0 c=4

，
解得

a= 1 8 b=- 3 2 c=4

．所以抛物线的解析式为y=

1

8

x2-

3

2

x+4；

（2）C（0，4）B（8，0）E（0，4-t）（t＞0），
OB=2OC=8CE=tBP=2tOP=8-2t，
∵EF∥OB，
∴△CEF∽△COB，
∴

CE

CO

=

EF

OB

，
则有

t

4

=

EF

8

得EF=2t，

EF•OP

EF+OP

=

2t(8-2t)

2t+8-2t

=

1

2

(4t-t2)=-

1

2

(t-2)2+2．
当t=2时

EF•OP

EF+OP

有最大值2．

（3）存在符合条件的t值，使△PBF与△ABC相似．
C（0，4），B（8，0），E（0，4-t），F（2t，4-t），P（8-2t，0）（t＞0），
AB=4BP=2t，BF=

(8-2t)2+(4-t)2

，
∵OC=4，
∴BC=4

5

．
①当点P与A、F与C对应，即△PBF∽△ABC，
则

BP

BA

=

BF

BC

，
代入得

2t

4

=

(8-2t)2+(4-t)2

4 5

，
解得t=

4

3

；
②当点P与C、F与A对应，即△PBF∽△CBA，
则

BP

BC

=

BF

AB

，
代入得

2t

4 5

=

(8-2t)2+(4-t)2

4

，
解得t1=

20

7

，

t2

=

20

3

（不合题意，舍去）．
综上所述：符合条件的t=

4

3

和t=

20

7

．

点评：本题考查用一般式求二次函数的解析式及二次函数与方程、几何知识的综合应用，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．体现的数学思想是分类讨论思想．