Question

（2012•从化市一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=

1

2

AB；
（3）若BH=1，EC=

3

，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据等腰梯形的性质得出∠OEC=∠C，即可得出∠B=∠OEC，进而得出答案；
（2）利用切线的性质得出首先得出四边形OEHF为平行四边形，进而得出EH=

1

2

AB；
（3）根据相似三角形的判定得出△EHB∽△DEC，进而得出

DE

EH

=

EC

BH

，再利用勾股定理得出r的值即可得出答案．

解答：解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB；

（2）证明：连接OF，
∵⊙O与AB切于点F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF，
连接DF、CF，
∵DC是⊙O直径，
∴∠DFC=90°，
∵DO=OC
∴OF=

1

2

CD=

1

2

AB，
∴EH=

1

2

AB；

（3）解：连接DE，设⊙O的半径为r，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
则∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴

DE

EH

=

EC

BH

，
∵BH=1，EC=

3

，
∴DE=

3

EH=

3

r，
在R_t△DEC中，DE²+EC²=CD²
∴(

3

r)2+(

3

)2=(2r)2，r＞0，
解得：r=

3

，
∴⊙O的半径为

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线、等腰梯形、切线的性质及勾股定理等基础知识，也考查了运算能力、推理能力和空间观念．