题目内容

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°不变．PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）中：①当y最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．②当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数．

（1）证明：∵△MBC是等边三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°，
∵M是AD中点，
∴AM=MD
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC，
∴AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）解：在等边三角形MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°，
∴∠BMP=∠QPC，
∴△BMP∽△CPQ，
∴PC：BM=CQ：BP
∵PC=x，MQ=y，则BP=4-x，QC=4-y，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ x²-x+4= $\text{[math]}$ （x-2）²+3，
即MQ的最小值为3；

（3）解：①△PQC为直角三角形，
由（2）知，当MQ取最小值时，x=PC=2．
∴P是BC的中点，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°，
②当BP=1时，有BP平行且等于AM，BP平行且等于MD，则四边形ABPM四边形MBPD均为平行四边形．
当BP=3时，
∵PC平行且等于AM，PC平行且等于MD，
∴四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形．
∴当BP=1或BP=3时，以点P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形，
此时平行四边形有2个．
分析：（1）需证△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可证△BPM∽△CQP，则PC：BM=CQ：BP，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，即可得到BP与CQ的关系，从而转化成y与x的函数关系式；
（3）先利用二次函数求最值，求出y取最小值时x的值和y的最小值，从而确定P、Q的位置，判断出△PQC的形状．应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形，四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况．
点评：本题考查了本题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用．还考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，求函数最小值等知识点．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．