Question

【题目】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点和点的坐标分别为，抛物线的对称轴为，为抛物线的顶点．

求抛物线的解析式．

抛物线的对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，写出点点的坐标，若不存在，说明理由．

点为线段上一动点，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，求四边形面积的最大值，以及此时点的坐标．

Answer 1

【答案】；存在满足条件的点，其坐标为或或或；四边形面积的最大值，此时点的坐标为．

【解析】

（1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标；

（3）由B、C可求得直线BC解析式，可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．

∵点和点的坐标分别为，抛物线的对称轴为，

∴，解得，

∴抛物线解析式为；

∵，

∴，且，

∵点为对称轴上的一点，

∴可设，

∴，，，

∵为等腰三角形，

∴分、和三种情况，

①当时，则，解得，此时点坐标为；

②当时，则，解得或（与点重合，舍去），此时点坐标为；

③当时，则，解得或，此时点坐标为或；

综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或；

∵，，

∴直线解析式为，

∵点在直线上，点在抛物线上，

∴设，，

∵点在线段下方，

∴，

∴，且，

∴，

∵，

∴当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为，

综上可知四边形面积的最大值，此时点的坐标为．