Question

如图，已知O是坐标原点，点A、B分别在x、y轴上，OA=1，OB=2，若点D在x轴下方，且使得△AOB与△OAD相似，则这样的点D有

 

个，其坐标分别是

 

．

Answer 1

分析：此题分为若AD是斜边，且△AOB∽△AOD与△AOB∽△DOA以及△AOB∽△DAO去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得点D的坐标，小心别漏解．

解答：解：∵OA=1，OB=2，
∴AB=

5

，
①如图：若AD是斜边，且△AOB∽△AOD，
则∠AOB=∠AOD=90°，
∴

AO

AO

=

BO

DO

=1，
∴DO=2，
∴D₁（0，-2）；
易得：△AOB∽△ADO，D₂（1，-2）；

②如图：若△AOB∽△DOA，
则∠AOB=∠AOD=90°，
∴

AO

DO

=

OB

OA

，
即

1

DO

=

2

1

，
解得：DO=

1

2

，
∴D₃（0，-

1

2

）；
易得：△AOB∽△DAO时，D₄（1，-

1

2

）；

③如图：若△AOB∽△ADO，
∴∠ADO=90°，
∴

OA

AB

=

OD

OA

，∠AOD=∠OAB，
∴

1

5

=

OD

1

，
∴OD=

5

5

，
∴sin∠AOD=

DH

OD

=sin∠OAB=

OB

AB

，
∴

DH

5 5

=

2

5

，
∴DH=

2

5

，则OH=

1

5

，
∴D₅（

1

5

，-

2

5

）；
易得：D₆（

4

5

，-

2

5

）．
∴这样的点D有6个，其坐标分别是（0，-2），（1，-2），（0，-

1

2

），（1，-

1

2

），（

1

5

，-

2

5

），（

4

5

，-

2

5

）．
故答案为：6，（0，-2），（1，-2），（0，-

1

2

），（1，-

1

2

），（

1

5

，-

2

5

），（

4

5

，-

2

5

）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．解题的关键是分类讨论思想与数形结合思想的应用，注意不要漏解．