Question

如图，点E在线段AB上，DA⊥AB，CB⊥AB，DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD，AD=2，AE=3，EC=3

2

．
（1）找出图中所有的相似三角形，并就其中的一对给予证明；
（2）求AB的长．

Answer 1

分析：（1）△ADE∽△EDC∽△BEC．由于DA⊥AB，CB⊥AB，易知AD∥BC，而DE、CE是角平分线，易求∠DEC=90°，从而易证
△ADE∽△EDC；
（2）在Rt△ADE中，利用勾股定理可求DE，而△ADE∽△BEC，利用比例线段可求BE，进而可求AB．

解答：（1）△ADE∽△EDC∽△BEC．
证明：∵DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥BC，
则∠ADC+∠BCD=180°，
又∵DE、CE分别平分∠ADC、∠BCD，
∴2（∠EDC+∠ECD）=180°，
则∠EDC+∠ECD=90°，
∴∠DEC=90°，
在Rt△ADE和Rt△EDC中，
∵∠ADE=∠EDC，
∴△ADE∽△EDC；

（2）在Rt△ADE中，∵AD=2，AE=3
由勾股定理，得DE=

22+32

=

13

，
∵△ADE∽△BEC，
∴

BE

AD

=

EC

DE

，
则BE=

3 2

13

×2=

6 26

13

，
∴AB=AE+BE=3+

6

13

26

．

点评：本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明AD∥BC，且求出∠DEC=90°．