Question

11．已知：如图所示，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC上任一点，O是BD的中点，连接MO，并延长MO到N，使NO=MO，连接BN与ND．
（1）判断四边形BNDM的形状，并证明；
（2）若M是AC的中点，则四边形BNDM的形状又如何？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上1的中线性质得出BM=$\frac{1}{2}$AC，DM=$\frac{1}{2}$AC，得出BM=DM，即可得出结论．

解答 （1）解：四边形BNDM是平行四边形，理由如下：
∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
∵NO=MO，
∴四边形BNDM是平行四边形；
（2）解：四边形BNDM是菱形；理由如下：
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$AC，DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴BM=DM，
∴四边形BNDM是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定方法、直角三角形斜边上的中线性质、菱形的判定方法；熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．