Question

数学问题：计算+++…+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．

探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：计算+++…+．

第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；

…

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．

探究二：计算+++…+．

第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；

…

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，

两边同除以2，得+++…+=﹣．

探究三：计算+++…+．

（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算+++…+．

（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）

根据第n次分割图可得等式：　+++…+=1﹣　，

所以，+++…+=　﹣　．

拓广应用：计算 +++…+．

Answer 1

解：探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，

其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，

阴影部分的面积之和为；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，

…，

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，

所有阴影部分的面积之和为：+++…+，

最后的空白部分的面积是，

根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，

两边同除以3，得+++…+=﹣；

 

解决问题：+++…+=1﹣，

+++…+=﹣；

故答案为：+++…+=1﹣，﹣；

 

拓广应用：+++…+，

=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，

=n﹣（+++…+），

=n﹣（﹣），

=n﹣+．