Question

15．杨辉是我国南宋时期杭州人，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了所示的三角形数表，被后人称为“杨辉三角”：
              1
          1     1
        1     2    1
    1   3      3    1
1   4    6     4     1
1   5   10   10    5      1
…
按照上面的规律，第7行的第2个数是6；第n行（n≥3）的第3个数是$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 设第n行第2个数为a_n（n≥2，n为正整数），第n行第3个数为b_n（n≥3，n为正整数），根据给定“杨辉三角”的部分找出a_n、b_n的值，根据数的变化找出变化规律“a_n=n-1，b_n=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$”，依此规律即可得出结论．

解答 解：设第n行第2个数为a_n（n≥2，n为正整数），第n行第3个数为b_n（n≥3，n为正整数），
观察，发现规律：
∵a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=4，a₆=5，
∴a_n=n-1；
∵b₃=1，b₄=3=1+2=b₃+2，b₅=6=3+3=b₄+3，b₆=10=6+4=b₅+4，…，
∴b_n-b_n-1=n-2，
∴b_n=b₃+b₄-b₃+b₅-b₄+b₆-b₅+…+b_n-b_n-1=1+2+3+…+n-2=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$．
当n=7时，a₇=7-1=6．
故答案为：6；$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$．
15，$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$（第一问（1分），第2问2分）

点评 本题考查了规律型中的数的变化规律，解题的关键是找出变化的规律“a_n=n-1，b_n=$\frac{（n-1）（n-2）}{2}$”．本题属于中档题，找第三个数的变化规律是有点难度，解决该题型题目时，根据数的变化找出变化规律是关键．