Question

【题目】如图，在边长为6的菱形ABCD中，对角线AC，BD交点与点O，点P是△ADO的重心.

（1）当菱形ABCD是正方形时，则PA=________，PD=__________，PO=_________.

（2）线段PA，PD，PO中是否存在长度保持不变的线段，若存在，请求出该线段的长度，若不存在，请说明理由．

（3）求线段PD，DO满足的等量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；2 （2）存在；PO=2 （3）见解析

【解析】

（1）由正方形的性质和勾股定理可求出AE的长，由P点是△ADO的重心，根据重心的性质即可求出PA，PD的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出OP的长；

（2）延长OP交AD于G，由OG是Rt△AOD的斜中线可知OG=3，再利用重心的性质可得OP为定值；

（3）延长DP交AC于F，由菱形的对角线互相垂直及勾股定理可得，在△AOD中，由勾股定理得，即可得出线段PD，DO满足的等量关系．

（1）PA=，PD=，PD=2

当菱形ABCD是正方形时，如图，

∵正方形边长为6，点P是△ADO的重心，

∴,，

由勾股定理得，

，

∴，

∴PD=，

∵OG是△ADO的中线，

∴OG=,

∴；

（2）延长OP交AD于G

∵OG是Rt△AOD的斜中线

∴OG=

∵P为重心

∴PO=

∴PO为定值.

（3）延长DP交AC于F